COS 45 – Riccati Dynamics of Effective Rates in Exponential Mixtures

要旨

[EN] This work establishes the COS 45 crossover as an exact analytic corollary of the quadratic spectral closure theorem (Spectral Mean Flow v3.1). Starting from the rigidity lemma — which forces any exponential mixture whose variance closes quadratically to be bi-atomic — we derive the exact Riccati dynamics of the effective rate, its projective Möbius representation, and the parallel structure for power-law mixtures. In the normalized regime p=1/2, q=1, the crossover α(δ)=1/√2 occurs at δ*=a²/(2b²), defining COS 45 as an exact analytic marker of the two-mode transition, not a universal constant. [FR] Ce travail établit le croisement COS 45 comme corollaire analytique exact du théorème de fermeture spectrale quadratique (Spectral Mean Flow v3.1). À partir du lemme de rigidité — qui contraint toute mixture exponentielle dont la variance se ferme quadratiquement à être bi-atomique — nous dérivons la dynamique de Riccati exacte du taux effectif, sa représentation projective de Möbius, et la structure parallèle pour les mélanges en loi de puissance. Dans le régime normalisé p=1/2, q=1, le croisement α(δ)=1/√2 se produit à δ*=a²/(2b²), définissant COS 45 comme un marqueur analytique exact de la transition bi-modale. [ES] Este trabajo establece el cruce COS 45 como corolario analítico exacto del teorema de cierre espectral cuadrático (Spectral Mean Flow v3.1). Partiendo del lema de rigidez, se deriva la dinámica exacta de Riccati de la tasa efectiva, su representación de Möbius y la estructura paralela para mezclas en ley de potencia. En el régimen normalizado p=1/2, q=1, el cruce α(δ)=1/√2 ocurre en δ*=a²/(2b²). [DE] Diese Arbeit zeigt, dass der COS 45-Übergang ein exaktes analytisches Korollar des quadratischen Spektralschliessungstheorems (Spectral Mean Flow v3.1) ist. Aus dem Rigiditätslemma wird die exakte Riccati-Dynamik der effektiven Rate, ihre Möbius-Darstellung und die parallele Struktur für Potenzgemische abgeleitet. Im normierten Regime p=1/2, q=1 tritt der Übergang α(δ)=1/√2 bei δ*=a²/(2b²) auf. [IT] Questo lavoro stabilisce che il crossover COS 45 è un corollario analitico esatto del teorema di chiusura spettrale quadratica (Spectral Mean Flow v3.1). Dal lemma di rigidità si derivano la dinamica di Riccati esatta, la rappresentazione di Möbius e la struttura parallela per le miscele a legge di potenza. Nel regime normalizzato p=1/2, q=1, il crossover α(δ)=1/√2 avviene a δ*=a²/(2b²). [PT] Este trabalho estabelece o cruzamento COS 45 como corolário analítico exato do teorema de fechamento espectral quadrático (Spectral Mean Flow v3.1). Do lema de rigidez derivam-se a dinâmica de Riccati, a representação de Möbius e a estrutura paralela para misturas em lei de potência. No regime normalizado p=1/2, q=1, o cruzamento α(δ)=1/√2 ocorre em δ*=a²/(2b²). [中文] 本文将COS 45过渡确立为二次谱闭合定理(Spectral Mean Flow v3.1)的精确解析推论。从刚性引理出发,推导有效速率的Riccati动力学及其Möbius表示。在归一化体系p=1/2,q=1中,过渡α(δ)=1/√2发生在δ*=a²/(2b²)处。 [日本語] 本研究はCOS 45クロスオーバーが二次スペクトル閉包定理(Spectral Mean Flow v3.1)の厳密な解析的系であることを示す。剛性補題からRiccati力学とMöbius表現を導出する。正規化レジームp=1/2,q=1においてα(δ)=1/√2のクロスオーバーはδ*=a²/(2b²)で発生する。

主題